Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:OrigenO también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.MóduloEs la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.DirecciónViene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.SentidoSe indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.
Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia.
Magnitudes EscalaresDenominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las que las medidas quedan correctamente expresadas por medio de un número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes, entre otras:MasaTemperaturaPresiónDensidadMagnitudes vectorialesLas magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación.VectorUn vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Podemos considerarlo como un segmento orientado, en el que cabe distinguir:
Un origen o punto de aplicación: A.
Un extremo: B.
Una dirección: la de la recta que lo contiene.
Un sentido: indicado por la punta de flecha en B.
Un módulo, indicativo de la longitud del segmento AB.
Vectores igualesDos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección.Vector libreUn vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra.Descomponiendo en un sistema de ejes cartesianosa+b=(axi+ayj+ azk)+(bxi+byj+ bzk)=(ax+bx)i+(ay +by)j+(az+bz)k
PropiedadesConmutativa: a+b=b+aAsociativa: (a+b)+c=a+(b+c)Elemento Neutro: a+0=aElemento Simétrico: a+(-a)=a-a=0Vectores unitarios y componentes de un vectorCualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tres vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados. Suma y resta de vectoresLa suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma:Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo.Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la "saliente", del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos vectores.
Para efectuar sumas o restas de tres o más vectores, el proceso es idéntico. Basta con aplicar la propiedad asociativa.Al vector que se obtiene al sumar o restar varios vectores se le denomina resultante.Suma de VectoresLa suma de los vectores podemos realizarla de dos maneras diferentes, analítica y gráficamente.Procedimiento GráficoPara sumar dos vectores de manera gráfica utilizaremos la denominada Regla del paralelogramo, consistente en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la diagonal de ese paralelogramo, como podemos ver en el siguiente dibujo:
Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el segundo vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el extremo del primer vector, y la suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el origen del primer vector hasta el extremo del segundo, de la siguiente manera:
Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma dirección se suman (tal y como ya hemos visto en la sección de la suma de vectores), pero vectores con sentidos opuestos se restan (tal y como se puede ver en el apartado correspondiente a la resta de vectores). A continuación tenemos un ejemplo de suma y resta de vectores.
Método Algebraico para la Suma de vectoresDados tres vectores La expresión correspondiente al vector suma es: o bien siendo, por tanto, La suma de vectores goza de las siguientes propiedades:Conmutativaa + b = b + aAsociativa(a + b) + c = a + (b + c)Elemento neutro o vector 0a + 0 = 0 + a = aElemento simétrico u opuesto a'a + a' = a' + a = 0a' = -aProducto de un vector por un escalarEl resultado de multiplicar un escalar k por un vector v, expresado analíticamente por kv, es otro vector con las siguientes características :1.- Tiene la misma dirección que v.2.- Su sentido coincide con el de v, si k es un número positivo, y es el opuesto, si k es un número negativo.3.- El módulo es k veces la longitud que representa el módulo de v. ( Si k es 0 el resultado es el vector nulo).Analíticamente, tenemos que multiplicar el escalar por cada una de las coordenadas del vector.Ejemplo : Dado el vector v de componentes : vxi + vyj + vzk, el producto 3 · v = 3 · vxi + 3 · vyj + 3 · vzk.La representación gráfica del producto es igual a sumar el vector tantas veces como indica el escalar.Ejemplo :
PropiedadesEl producto de un vector por un escalar cumple las siguientes propiedades: Producto escalar de dos vectoresEl producto escalar de dos vectores, expresado analíticamente como r · v, se obtiene de la suma de los productos formados por las componentes de uno y otro vector. Es decir, dados dos vectores r y v, expresados en un mismo sistema de coordenadas:rrxi + ryj + rzkvvxi + vyj + vzkteniendo en cuenta que el producto escalar de los vectores :i · ij · jk · k1i · ji · kj · k0el resultado de multiplicar escalarmente r por v es:r · v
rx· vx + ry · vy+ rz · vzEsta operación no solo nos permite el cálculo de la longitud de los segmentos orientados que representan ( sus módulos ), sino también calcular el ángulo que hay entre ellos. Esto es posible, ya que el producto escalar también se puede hallar en función de sus módulos y del coseno del ángulo que forman mediante la fórmula :r · v
|r| · |v| · cos (r, v)PropiedadesConmutativa : r · vv · rDistributiva : r · ( v + u )r · v + r · uAsociativa : ( k · r ) · vk · ( r · v )r · ( k · v ) siendo k escalar.Además :1.- r · r0 si, y sólo sí r0.2.- Si r y v <> 0 y r · v0, esto implica que los vectores son perpendiculares, (cos 90º0).3.- El producto escalar de dos vectores es equivalente a multiplicar escalarmente uno de ellos por el vector proyección del otro sobre él.Ejemplo :Proyección ortogonal (rv) de r sobre vrv= |r| cos (r, v) -> r · v = |v| · rvProducto vectorialEl producto vectorial de los vectores a y b, se define como un vector, donde su dirección es perpendicular al plano de a y b, en el sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha por el camino más corto de a a b,
donde n es un vector unitario perpendicular al plano de a y b en el sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha de a a b.Propiedades: Módulo de un vectorUn vector no solo nos da una dirección y un sentido, sino también una magnitud, a esa magnitud se le denomina módulo.Gráficamente: es la distancia que existe entre su origen y su extremo, y se representa por:
Coordenadas cartesianas: En muchas ocasiones es conveniente tomar las componentes sobre tres direcciones mutuamente perpendiculares OX, OY y OZ que forman un sistema cartesiano tridimensional.Si tomamos tres vectores unitarios, i sobre OX, j sobre OY y k sobre OZ, entonces podemos encontrar puntos ax, ay, az sobre OX, OY, OZ, respectivamente, tales que:
y aplicando el teorema de Pitágoras nos encontramos con que el módulo de a es:
III. Ecuación De La Recta.Ecuación de la RectaQue Pasa Por El OrigenConsidere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación con el eje x
Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3.Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que:
Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l, ó y = mx (1)La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendiente conocida m.Ecuación De La Recta Conocida Su Pendiente m Y Su Intercepto b Con El Eje yConsidere una recta l de la que se conocen m (m = tan ) y b
Trácese por el origen la recta l’ paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al llamar P’ la proyección de P sobre el eje x; PP’ corta a la recta l’ en un punto P’’ de coordenadas La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en términos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y.Ecuación De La Recta Que Pasa Por Un Punto Y De Pendiente ConocidaConsidere la recta l que pasa por un punto dado P1(x1, y1) y cuya pendiente m también es conocida..
Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y, entonces la ecuación de l, viene dada por:y = mx + b (1)Como P1(x1, y1) , entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene:y1 = mx1 + b (2) Al restar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina el parámetro b que se desconoce y se obtiene:y – y1 = m(x – x1) (3)La ecuación (3) es conocida como la forma: PUNTO-PENDIENTE de la ecuación de la recta.Nótese que la ecuación (3) también puede escribirse en la forma:y = mx + (y1 – mx1).Lo que indica que él intercepto b con el eje y viene dado por:b = y1 – mx1
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2).. Sea l la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y llámese m1 su pendiente
Como l pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m1, se tiene de acuerdo a 4.4.3, quey – y1 = m1 (x – x1) (1)representa la ecuación de dicha recta.Ahora, como el punto P2(x2, y2) , entonces satisface su ecuación La ecuación (3) se conoce como la forma: DOS-PUNTOS de la ecuación de la recta.Ecuación segmentaría de la línea rectaConsidere la recta l de la cual conocemos los interceptó a y b con los ejes x e y respectivamente
Como l pasa por los puntos A(a, 0) y B(0, b), entonces de acuerdo a la sección la ecuación de l viene dada por:
Dividiendo esta última ecuación por b, se obtiene: La ecuación (1) se conoce como la ecuación SEGMENTARIA, CANÓNICA O FORMA DE LOS INTERCEPTOS de la línea recta. Los números a y b son las medidas de los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo correspondiente, pues haciendo en (1)y = 0, resulta x = a (Intercepto con el eje x)x = 0, resulta x = b (Intercepto con el eje y)Ecuación general de la línea recta.... La ecuación Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las variables x e y...La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente teoremaTEOREMALa ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1) , R; A y B no son simultáneamente nulos, representan una línea recta.Demostracióni. Se puede Considerar varios casos:A = 0, B diferente de 0.En este caso, la ecuación (1) se transforma en By + C = 0,0de donde
La ecuación (2) representa una línea recta paralela al eje x y cuyo intercepto con el eje y es ii.En este caso, la ecuación (1) se transforma en Ax + C = 0, de donde
La ecuación (3) representa una línea recta paralela al eje y y cuyo intercepto con el eje x es iii. En este caso, la ecuación (1) puede escribirse en la siguiente forma:
La ecuación (4) representa una línea recta, cuya pendiente es y cuyo intercepto con el eje y viene dado por
observacionesi. Es posible escribir la ecuación general de la línea recta en varias formas, de tal manera que solo involucre dos constantes. Es decir, si A, B y C son todos distintos de cero, podemos escribir la ecuación (1), en las siguientes formas equivalentes: En cada una de las ecuaciones (1A), (1B) y (1C) existe esencialmente solo dosconstantes independientes, por ejemplo en (1A)Esto indica que para determinar la ecuación de una recta en particular, necesitamos conocer dos condiciones, como por ejemplo, dos puntos, un punto y la pendiente, en concordancia con lo establecido en los numerales anteriores.iii. Cuando la ecuación de una recta esta expresada en la forma general Ax + By + C = 0, su pendiente ó coeficiente angular con respecto al eje x, m viene dado por y su coeficiente angular n, con respecto al eje yviene dado por . Los coeficientes A y B se denominan coeficientes directores de la recta.
Definición de vectores
Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son:OrigenO también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre el que actúa el vector.MóduloEs la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector, debemos medir desde su origen hasta su extremo.DirecciónViene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene.SentidoSe indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector.Hay que tener muy en cuenta el sistema de referencia de los vectores, que estará formado por un origen y tres ejes perpendiculares. Este sistema de referencia permite fijar la posición de un punto cualquiera con exactitud.El sistema de referencia que usaremos, como norma general, es el Sistema de Coordenadas Cartesianas.
Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es, tienen módulo 1, son perpendiculares entre sí y corresponderán a cada uno de los ejes del sistema de referencia.
Magnitudes EscalaresDenominamos Magnitudes Escalares a aquellas en las que las medidas quedan correctamente expresadas por medio de un número y la correspondiente unidad. Ejemplo de ello son las siguientes magnitudes, entre otras:MasaTemperaturaPresiónDensidadMagnitudes vectorialesLas magnitudes vectoriales son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación.VectorUn vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Podemos considerarlo como un segmento orientado, en el que cabe distinguir:
Vectores igualesDos vectores son iguales cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección.Vector libreUn vector libre queda caracterizado por su módulo, dirección y sentido. El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra.Descomponiendo en un sistema de ejes cartesianosa+b=(axi+ayj+ azk)+(bxi+byj+ bzk)=(ax+bx)i+(ay +by)j+(az+bz)k
PropiedadesConmutativa: a+b=b+aAsociativa: (a+b)+c=a+(b+c)Elemento Neutro: a+0=aElemento Simétrico: a+(-a)=a-a=0Vectores unitarios y componentes de un vectorCualquier vector puede ser considerado como resultado de la suma de tres vectores, cada uno de ellos en la dirección de uno de los ejes coordenados.
Suma y resta de vectoresLa suma de dos vectores libres es otro vector libre que se determina de la siguiente forma:Se sitúa el punto de aplicación de uno de ellos sobre el extremo del otro; el vector suma es el vector que tiene su origen en el origen del primero y su extremo en el extremo del segundo.Por tanto, el vector suma de dos vectores coincide con una de las diagonales, la "saliente", del paralelogramo que puede formarse con los vectores que se suman; la otra diagonal representa la resta de dichos vectores.
Para efectuar sumas o restas de tres o más vectores, el proceso es idéntico. Basta con aplicar la propiedad asociativa.Al vector que se obtiene al sumar o restar varios vectores se le denomina resultante.Suma de VectoresLa suma de los vectores podemos realizarla de dos maneras diferentes, analítica y gráficamente.Procedimiento GráficoPara sumar dos vectores de manera gráfica utilizaremos la denominada Regla del paralelogramo, consistente en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la diagonal de ese paralelogramo, como podemos ver en el siguiente dibujo:
Otra manera de expresar la suma de manera gráfica es trasladar el segundo vector a sumar de tal manera que el origen de éste, coincida con el extremo del primer vector, y la suma la obtendremos dibujando un vector que vaya desde el origen del primer vector hasta el extremo del segundo, de la siguiente manera:
Hay que tener muy presente lo siguiente: vectores en la misma dirección se suman (tal y como ya hemos visto en la sección de la suma de vectores), pero vectores con sentidos opuestos se restan (tal y como se puede ver en el apartado correspondiente a la resta de vectores). A continuación tenemos un ejemplo de suma y resta de vectores.
Método Algebraico para la Suma de vectoresDados tres vectores
La expresión correspondiente al vector suma
o bien
siendo, por tanto,
La suma de vectores goza de las siguientes propiedades:Conmutativaa + b = b + aAsociativa(a + b) + c = a + (b + c)Elemento neutro o vector 0a + 0 = 0 + a = aElemento simétrico u opuesto a'a + a' = a' + a = 0a' = -aProducto de un vector por un escalarEl resultado de multiplicar un escalar k por un vector v, expresado analíticamente por kv, es otro vector con las siguientes características :1.- Tiene la misma dirección que v.2.- Su sentido coincide con el de v, si k es un número positivo, y es el opuesto, si k es un número negativo.3.- El módulo es k veces la longitud que representa el módulo de v. ( Si k es 0 el resultado es el vector nulo).Analíticamente, tenemos que multiplicar el escalar por cada una de las coordenadas del vector.Ejemplo : Dado el vector v de componentes : vxi + vyj + vzk, el producto 3 · v = 3 · vxi + 3 · vyj + 3 · vzk.La representación gráfica del producto es igual a sumar el vector tantas veces como indica el escalar.Ejemplo :
PropiedadesEl producto de un vector por un escalar cumple las siguientes propiedades:
Producto escalar de dos vectoresEl producto escalar de dos vectores, expresado analíticamente como r · v, se obtiene de la suma de los productos formados por las componentes de uno y otro vector. Es decir, dados dos vectores r y v, expresados en un mismo sistema de coordenadas:rrxi + ryj + rzkvvxi + vyj + vzkteniendo en cuenta que el producto escalar de los vectores :i · ij · jk · k1i · ji · kj · k0el resultado de multiplicar escalarmente r por v es:r · v
rx· vx + ry · vy+ rz · vzEsta operación no solo nos permite el cálculo de la longitud de los segmentos orientados que representan ( sus módulos ), sino también calcular el ángulo que hay entre ellos. Esto es posible, ya que el producto escalar también se puede hallar en función de sus módulos y del coseno del ángulo que forman mediante la fórmula :r · v
|r| · |v| · cos (r, v)PropiedadesConmutativa : r · vv · rDistributiva : r · ( v + u )r · v + r · uAsociativa : ( k · r ) · vk · ( r · v )r · ( k · v ) siendo k escalar.Además :1.- r · r0 si, y sólo sí r0.2.- Si r y v <> 0 y r · v0, esto implica que los vectores son perpendiculares, (cos 90º0).3.- El producto escalar de dos vectores es equivalente a multiplicar escalarmente uno de ellos por el vector proyección del otro sobre él.Ejemplo :Proyección ortogonal (rv) de r sobre vrv= |r| cos (r, v) -> r · v = |v| · rvProducto vectorialEl producto vectorial de los vectores a y b, se define como un vector, donde su dirección es perpendicular al plano de a y b, en el sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha por el camino más corto de a a b,donde n es un vector unitario perpendicular al plano de a y b en el sentido del movimiento de un tornillo que gira hacia la derecha de a a b.Propiedades:
Módulo de un vectorUn vector no solo nos da una dirección y un sentido, sino también una magnitud, a esa magnitud se le denomina módulo.Gráficamente: es la distancia que existe entre su origen y su extremo, y se representa por:
Coordenadas cartesianas: En muchas ocasiones es conveniente tomar las componentes sobre tres direcciones mutuamente perpendiculares OX, OY y OZ que forman un sistema cartesiano tridimensional.Si tomamos tres vectores unitarios, i sobre OX, j sobre OY y k sobre OZ, entonces podemos encontrar puntos ax, ay, az sobre OX, OY, OZ, respectivamente, tales que:
y aplicando el teorema de Pitágoras nos encontramos con que el módulo de a es:
III. Ecuación De La Recta.Ecuación de la Recta Que Pasa Por El OrigenConsidere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación
Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3.Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que:
Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l,
Trácese por el origen la recta l’ paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al llamar P’ la proyección de P sobre el eje x; PP’ corta a la recta l’ en un punto P’’ de coordenadas
La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en términos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y.Ecuación De La Recta Que Pasa Por Un Punto Y De Pendiente ConocidaConsidere la recta l que pasa por un punto dado P1(x1, y1) y cuya pendiente m también es conocida..
Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y, entonces la ecuación de l, viene dada por:y = mx + b (1)Como P1(x1, y1)
Al restar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina el parámetro b que se desconoce y se obtiene:y – y1 = m(x – x1) (3)La ecuación (3) es conocida como la forma: PUNTO-PENDIENTE de la ecuación de la recta.Nótese que la ecuación (3) también puede escribirse en la forma:y = mx + (y1 – mx1).Lo que indica que él intercepto b con el eje y viene dado por:b = y1 – mx1
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2).. Sea l la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y llámese m1 su pendiente
Como l pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m1, se tiene de acuerdo a 4.4.3, quey – y1 = m1 (x – x1) (1)representa la ecuación de dicha recta.Ahora, como el punto P2(x2, y2)
La ecuación (3) se conoce como la forma: DOS-PUNTOS de la ecuación de la recta.Ecuación segmentaría de la línea rectaConsidere la recta l de la cual conocemos los interceptó a y b con los ejes x e y respectivamente
Como l pasa por los puntos A(a, 0) y B(0, b), entonces de acuerdo a la sección la ecuación de l viene dada por:
Dividiendo esta última ecuación por b, se obtiene:
La ecuación (1) se conoce como la ecuación SEGMENTARIA, CANÓNICA O FORMA DE LOS INTERCEPTOS de la línea recta. Los números a y b son las medidas de los segmentos que la recta intercepta con cada eje, con su signo correspondiente, pues haciendo en (1)y = 0, resulta x = a (Intercepto con el eje x)x = 0, resulta x = b (Intercepto con el eje y)Ecuación general de la línea recta.... La ecuación Ax + By +C = 0 donde A, B, C son números reales y A, B no son simultáneamente nulos, se conoce como la ECUACIÓN GENERAL de primer grado en las variables x e y...La ecuación explícita de la recta cuando se conocen dos puntos excluye las rectas paralelas al eje y, cuyas ecuaciones son de la forma x = constante, pero todas las rectas del plano, sin excepción, quedan incluidas en la ecuación Ax + By + C = 0 que se conoce como: la ecuación general de la línea recta, como lo afirma el siguiente teoremaTEOREMALa ecuación general de primer grado Ax + By + C = 0 (1) ,
La ecuación (2) representa una línea recta paralela al eje x y cuyo intercepto con el eje y es
La ecuación (3) representa una línea recta paralela al eje y y cuyo intercepto con el eje x es
La ecuación (4) representa una línea recta, cuya pendiente es
observacionesi. Es posible escribir la ecuación general de la línea recta en varias formas, de tal manera que solo involucre dos constantes. Es decir, si A, B y C son todos distintos de cero, podemos escribir la ecuación (1), en las siguientes formas equivalentes:
En cada una de las ecuaciones (1A), (1B) y (1C) existe esencialmente solo dosconstantes independientes, por ejemplo
Los coeficientes A y B se denominan coeficientes directores de la recta.